特殊值法,让难题的硬度瞬间酥软

特殊值法,让难题的硬度瞬间酥软


先看一个游戏:

两个人玩一个游戏,坐在一张普通的圆桌旁,一个人往桌子上放一枚硬币,随后另一个人也往桌上放一枚同样的硬币,如此交替地继续下去,每一枚硬币都必须平放在桌面上,不能重叠,也就是硬币不能放在其他硬币的上边。

谁在桌上放下最后一枚硬币,另一个人没地方放了,谁就是这场游戏的胜利者。

如果你想获胜,你是选择第一个放硬币,还是第二个放?

 

分析一:第一个人先把硬币放在圆桌的最中央,则第二个人只能放在傍边的某个位置。因为圆桌是轴对称图形,当第二个人放在傍边某个位置后,第一个人就放在与第二个人放的位置对称的地方,这样依次轮流放,当第二个人放置在倒数第二个位置的时候,第一个人放在它对称的地方,这时圆桌放满,再无位置可放,第一个人就获胜了。

说的这里,数学思维好的人,就已经明白了。但是,在给孩子们讲这个问题时,还是有些孩子数学思维逻辑不清晰,搞不明白是怎么回事,请看第二个思路。

分析二:假设,硬币和圆桌面一样大,第一个人把硬币“吧唧”向桌面上一撂,把桌面全盖住,桌面上没位置让第二个人放了,第一个人就获胜了。

或者,假设桌面象硬币那样小,第一个人把硬币“吧唧”向桌面上一撂,把桌面全盖住,桌面上没位置让第二个人放了,第一个人就获胜了。

现在,没有数学思维的人也应该能明白了,这就是想极端,取特殊值法的魅力。

再看几个应用:

如下图所示,一个腰长是20厘米的等腰三角形的面积是140平方厘米,在底边上任意取一点,这个点到两腰的垂线段的长分别是a厘米和b厘米。求a+b的长。

特殊值法,让难题的硬度瞬间酥软

思路一:

常规思路,如下图,做一条辅助线把三角形分成两部分,左边以20为底的三角形面积是20×a÷2=10a;

右边以20为底的三角形面积是20×b÷2=10b,两个三角形的面积和等于大三角形的面积,即:10a+10b=140,所以a+b=14

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思路二:

特殊值法,因为是在底边上任取一点,当E在BC边上移动的时候,a和b的长度会发生变化,但他们的和不变。如果他们的随着E点位置的改变而改变,那就会有无数个和,题无法求解了。

所以在E点位置的改变过程中,a+b的值是不变的。就可以把下图中的E点放在一个特殊的位置,比如放在C点,或B点。

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如下图,把E点放在C点,这时题中的b变为0,a就是以20为底时的高,a+b=a+0=a=140×2÷20=14厘米(面积乘2除以底,就是高)

特殊值法,让难题的硬度瞬间酥软


由此可见,特殊值法更简捷。

如下图,长方形AB=8厘米,AD=10厘米,AE=CF=4厘米,DG=BH=3厘米,O点是长方形内任意一点。求阴影部分的面积。

特殊值法,让难题的硬度瞬间酥软

本题有其他思路可解,这里只用特殊值法分析:

既然O是任意点,那就意味着把O点无论放在长方形的那个位置,阴影面积是不变的。

既然阴影面积不随O点的改变而改变,就把它放在一个特殊的位置,比如放在D点,这里原图中的阴影变为如下形状:

特殊值法,让难题的硬度瞬间酥软

图中阴影面积不用再说,你也会求了吧!

在正三角形中任意取一点P,连接PA,PB,PC,过P点做三条边的垂线,E,F,G分别为垂足,已知三角形ABC的面积是24平方厘米,求阴影部分的面积.


特殊值法,让难题的硬度瞬间酥软

该题若用常规思路,会很麻烦。

但是,若用特殊值法,就化很难为很易了。

题中说P点是三角形中任意一点,就把该点移到一个特殊的位置,比如移到C点,则原图中的阴影变为下图形状:

特殊值法,让难题的硬度瞬间酥软


阴影面积怎样求,还用说吗?

特殊值法,瞬间把一道复杂的题变成了瞪眼法,眼一瞪就出结果。

五(七年级以上)

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分析:

因为a<0,-1<b<0,不妨取特殊值,

设a=-1,b=-0.5

即:ab=-1×(-0.5)=0.5

   

 ab2=-1×-0.52=-1×0.25=-0.25

                  

结果:

aab2ab

六(七年级以上)

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七(七年级以上)



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八(超出因式分解相关章节的课本难度)


特殊值法,让难题的硬度瞬间酥软

对特殊值法的总结:

1、特殊值法的逻辑

特殊值法的逻辑依据是:

对于一般性成立的结论,特殊值必然成立。

但,当特殊值成立时,一般性的结果未必成立

2、什么情况下可以用特殊值法?

在问题求解过程中,若问题的选择对象是针对一般情况给出的,则可选择合适的特殊数值、特殊点、特殊数列、特殊图形等对结论加以检验,从而做出正确判断.对于有情况讨论的题目,可以代入相应的特殊值,结合排除法进行。

一般情况下,特殊值应满足三个条件

第一,无论这个量的值是多少,对最终结果所要求的量的值没有影响;

第二,这个量应该要跟最终结果所要求的量有相对紧密的联系;

第三,这个量在整个题干中给出的等量关系是一个不可或缺的量。

当然,如果你觉得上面这段理论有点难以理解,没关系,可以置之不理,不用再看。


3、如何选择特殊值?


(1)、简单原则。选择特殊值的目的是为了减少计算量,进而快速得到答案,所以选择特殊值的时候要尽可能使题目的计算变得简单。比如我们最常见的特殊值:0和±1,我们看下面的例子:

特殊值法,让难题的硬度瞬间酥软

这里我们可以取特殊值x=0,可直接得到答案E。

再看一道题目:

特殊值法,让难题的硬度瞬间酥软

常规解法不再赘述,这里去特殊值a=1,明显不符合题意,排除A、B、C,选D。

当然,特殊值的简单原则不是说只取简单的数值,是指让计算简单,但判断变得简单。比如下面这道题:

特殊值法,让难题的硬度瞬间酥软

这道题我们就应该取特殊值x=1和x=8,因为选x=1的时候可以令整个式子为0,当x=8时,可以使整体为很简单的整数值,也就很容易得到答案了。

(2)、选项排斥。有些选择题是可以通过特殊值得到结果,有些选择题则是通过特殊值排除错误选项。所以做特殊值的选择上,还要做到选项排斥。如下面这道题:

特殊值法,让难题的硬度瞬间酥软

这里我们就应该去特殊值a=-3。原因有2:

1是选项中有该选项;

2是-3这个值可以使式子秒变简单,之后排除B、C、E三个选项。再带入另外一个特殊值9就可以选A了。

我们再看一道题目:

特殊值法,让难题的硬度瞬间酥软

这里我们可以取第一个特殊值:m=0,可以排除A、D、E,再取第二个特殊值m=2,排除C。

总之,特殊值法是解决问题的一个很重要的方法,无论是中考还是高考题中,都有特殊值法的身影,特殊值法也是生活中解决问题的一种方法。小学数学中渗透有一些特殊值法思想,只不过大家都习惯了常规解题思路,不熟悉这种方法罢了,给孩子渗透一些特殊值法思想,能让一些复杂问题瞬间简单化,也能开拓孩子的思维,给后续学习提供解决问题的思想。

课后练习:

1、如下图,四边形ABCD是一个长方形,AD=10厘米,AB=4厘米,E、F分别是BC、AD的中点,G是线段DC上任意一点,则阴影部分的面积和是多少平方厘米?

特殊值法,让难题的硬度瞬间酥软

2、如图所示,长方形长是18厘米,宽12厘米。A、B、C、D分别是长方形各边中点,长方形中有任意一点,把该点和A、B、C、D点相连,得到如下图中阴影,求阴影部分面积和是多少平方厘米?

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3、

特殊值法,让难题的硬度瞬间酥软

4、判断下边式子是不是恒等式:

特殊值法,让难题的硬度瞬间酥软

课后练习提示:

1、把G点移到D处

2、把长方形中的那个任意点,放在长方形的某个顶点处

3、取a=0.1

4、取a=1,代入式中看等号左右两边是否相等。

来源:刘潇老师有话说,本文观点不代表自营销立场,网址:https://www.zyxiao.com/p/127127

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