孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

孩子在幼儿期就开始感受空间图形,玩积木是学习空间图形的一种直观方式。北师大版五年级数学教材下册,学过长方体和正方体后,开始用数学语言表述空间概念。然而,有些孩子空间概念不强,在空间图形学习过程中会出现问题,还会给以后的立体几何学习埋下短板。

所以,在空间概念的形成期,通过搭建模型、画图等形式,让孩子以眼睛能看到的方式直观感受空间概念,以促使在大脑中建立起一定的空间思维。

以下1至5题,适合五、六年级大部分学生使用。

6至13题,适合初中学生以及五、六年级喜欢钻研的学生使用。


在老师没讲的情况下,哪位能把6至13题鼓捣出来,恭喜你,超常儿童诞生了!

其实老师讲后都不难,但是,要自己鼓捣出来,不容易!

可以在老师或家长的引导下学习,文后有分析。

1、下题是一道简单的问题:

在一个棱长4厘米的正方体的六个面的中心都挖去一个棱长1厘米的小正方体,剩下的几何体的表面积是多少平方厘米?

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

2、下题看似简单,但不小心会出错:

在一个棱长为5厘米的正方体上挖去一个棱长为1厘米的小正方体,求剩下几何体的表面积和体积.

3、有了1题和2题的基础,第3题应该不难。

下面图形中,从一个正方体中拿走了一部分(图中阴影部分),剩下部分哪个表面积最大,哪个表面积最小,请在图下边标注出来。(图中每块小正方体的棱长为1)

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

4、这道题不难:

一个棱长为9cm的正方体,中间挖了一个边长1cm横穿整个正方体的正方形洞(如图),求这个剩下部分的表面积和体积.

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

5、这道有难度了:

如图,在边长为3分米的立方体木块的每个面的中心打一个直穿木块的洞,洞口呈边长为1分米的正方形,求挖洞后木块的体积及表面积。(如果正方体的棱长是5分米呢?)

 

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

6、这道做对不容易,很多情况不是做不对,而是一看题脑子就屏蔽,不想看了。

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

(取π=3.14)

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

7、下边这题,能下手吗?


孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

8、下题第(1)问没问题;第(2)问要小心,不小心就出错;第(3)很多人无法下手。


孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

11、这题是不是有点大眼瞪小眼了

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

 

12、这题似乎更麻缠:

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!


13、

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

答案分析:

1、正方体棱长是4厘米,在每个面上打一个棱长是1厘米的小正方体,则没有挖透。如下图正方体的上面,把挖走小正方体的方洞的底面那个红色正方形托起来,正好把洞口封住,则原正方体的表面积没减少,还增加了小正方体洞内部四壁的四块小正方形的面积。

原正方体的表面积是:4×4×6=96平方厘米

每个小正方体洞的四壁的面积:1×1×4=4平方厘米

大正方体有六个面,每个面上一个洞,共六个洞:4×6=24平方厘米

所以,总面积是:96+24=120平方厘米。

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

2、在棱长为5厘米的正方体上边挖一个棱长是1厘米的小正方体,有三种情况:

(1)在角上挖,这时表面积没变,还是原正方体的表面积

5×5×6=150(平方厘米)

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

(2)在棱上挖,这时表面积比原表面积增加了2个小正方形面积。

5×5×6+1×1×2=152(平方厘米)

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

(3)在正方体的面上挖,这时表面积比原表面积增加了4个小正方形面积。

5×5×6+1×1×4=154(平方厘米)

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

3、

第1个图:比原正方体的表面积多了四个小正方形;

第2个图:比原正方体的表面积多了两个小正方形面积;

第3、4个图:和原来正方体的表面积相等

则第1个图的表面积最大,第3和4的表面积最小

4、表面积就是原来正方体的表面积,减去两个洞口的面积,再加上洞里边四壁的面积

体积就是用原正方体的体积减去洞的体积

(1)表面积:
9×9×6-1×1×2+9×1×4
=486-2+36
=520(平方厘米)
(2)体积:
9×9×9-1×1
×9

=729-9
=720(立方厘米)
答:这个剩下部分的表面积是520平方厘米,体积是720立方厘米.

5、在正方体的每个面上打一个直穿正方体的洞,如下图:

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

把右前角取掉,该物体的内部构造就如下图所示:

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

挖走的部分,就如下图所示,其实就是把原正方体掏走了七个小正方体。

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

剩下几何体的体积,就是原正方体的体积,减去七个小正方体的体积。

3×3×3-1×1×1×7=20(立方厘米)

剩下几何体的表面积,就是原来正方体的表面积,减去六个面上六个洞口的面积,再加上洞的四壁的面积,每个洞有四个面1×1×4,共六个洞1×1×4×6。

3×3×6-1×1×1×6+1×1×4×6

=54-6+24

=72(平方厘米)

如果把正方体的棱长变成5厘米,在每个面上挖一个洞口为边长1厘米的直穿正方体的洞,则挖走的部分如下图,剩下部分的体积和表面积的做法和上题相同。

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

6、本题的思路和第5题思路相同,但是要注意的是,上题中在正方体的上下面打的是长方体洞,则在正方体的最中间交叉的地方,是一个空的小正方体。但是,本题上下挖的是一个圆柱,则在最中间那个空腔部分的上面和下面,还留有图中阴影这样的部分:(把第一个图平放,从第二个图朝前的那个方洞塞进去,让第一个图中的圆和正方体里边那个圆洞吻合,周围还留有四个阴影部分的面积)

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

(1)要求此立体图形的表面积,只要求出外侧表面积和内侧表面积,然后相加即可;

剩余部分的表面积,就是用原长方体的表面积,减去四个方洞口,减去两个圆洞口,再加四个方洞的内壁,圆柱的内壁,和正方形减掉一个圆后的那四个阴影(风筝形)

(2)计算体积时,将挖空部分的立体图形取出,如图,只要求出这个几何体的体积即可;用大立方体的总体积-挖出部分的几何体积即可;

剩余部分的体积,就是用原正方体的体积,减去挖走的长方体部分和圆柱,长方体部分可以看成前、后、左、右四个小长方体,和最中间一个小正方体。

解:(1)外侧表面积为:

10×10×6-4×4×4-3.14×2×2×2

=510.88(平方厘米),
内侧表面积为:

4×3×4×4+3.14×4×3×2+2×(4×4-3.14×2×2

=274.24(平方厘米),

总表面积为510.88+274.24=785.12(平方厘米);

(2)挖出部分的几何体积为:

4×4×4×3+4×4×4+2×3.14×22×3

=331.36(立方厘米),

所求几何体体积为:

10×10×10-331.36=668.64(立方厘米);

答:此立体图形的表面积是785.12平方厘米,体积为668.64立方厘米.

7、把原图不同部分涂色,如下图,会发现,给原正方体挖掉如图的十字型后,剩余部分是两个形状,一个是原正方体的八个角处,每个角是一个小正方体。原正方体的十二条棱上,每条棱上有一个小正方体。

剩下部分的体积,就是求一个角上正方体的体积×8;再加棱上一个小正方体的体积×12

剩下部分的表面积,就是求一个角上正方体的表面积×8;再加棱上一个小正方体的表面积×12

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

体积:

2×2×2×8+1×1×1×12

=76(立方厘米)

表面积:

(2×2×3+1×1×3×3)×8+1×1×4×12

=216(平方厘米)

8、

第1问参考前边第4题

(1)表面积S1=4×4×6-1×1×2+1×4×4=110(cm2),故填110;

(2)参考下图,这个是打了两个洞,比第5题打3个洞的要复杂些,一不小心就会出错。(注意最中间部分,左右两边还有两个小正方形)

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

(2)表面积S2=

4×4×6-1×1×4+1×1.5×4×4+1×1×2

=118;


(3)参考下图,建方程可求出a能使橡皮泥块的表面积为118平方厘米,此时 a=2.2厘米
原正方体表面积,减上下两个正方形洞,减前后两个长方形洞,加上下洞内壁,加前后洞内壁,等于118



孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

9、共有四种情况,如下图,剩下几何体的棱的条数分别是12、13、14、15条.

10、记住一句话:用一个平面去截一个正方体时,经过几个面,截面就产生几边形。

(这里说用一个平面去截正方体,含义就是用一个刀截正方体时,刀必须经过的是一个平面,刀不能偏离、转动,这样截出来的面才能是平面图形)

因为正方体没有七个面,所以就截不出七边形。


11、正方体有八个角,穿过正方体,每两个角连一条对角线,共四条对角线。下图摆的是一个残缺的正方体,只看红色小方块,相当于大正方体的一条对角线上摆的小正方体:

看个俯视图,或者把对角线上的这些红色小方块落下去,落在底面上,如下图,正方体对角线上的红色小正方体就落在了底面的正方形里,成为正方形的对角线,也就是说,正方体对角线上的红色小正方体的块数,和原正方体底面正方形的对角线上的小正方体的块数相同。

然后再把底面上对角线上的小红色正方体向前一推,就可以推到正方体的棱上,如下图,也就是说,底面对角线上的正方体的块数,和棱上的小正方体的块数相同。

上边只是考虑了原大正方体一条对角线上的红色小正方体,如果考虑两条对角线上的红色小正方体,看个俯视图,或者把这两条对角线上的红色小正方体都落下到底面上,就如下图中的红色小块。其中最中间的那一块是共用的。如果把最中间的这块红色小正方体算给一条对角线的总块数,另一条对角线上的红色小正方体就少一块。

孩子空间概念不强?看这里,来个加强版!

现在回到原题,正方体的四条对角线上摆放的红色小正方体共有401块,把最中间那块放在一条对角线上,则另外三条对角线上就各少一块,这三条对角线上各加一块,四条对角线上的块数就相同了,这时四条对角线上共有401+3=404块,则每条对角线上有404÷4=101块,把这101块落到底面上,则底面对角线上有101块,再把底面上这101块推到边上,则边上有101块,也就是原正方体的棱上有101块。

101×101×101就是这个正方体用的小正方体的总块数,再减去对角线上401块,就是无色透明的小正方体的总块数。


101×101×101-401

=1030301-40l,
=1029900(个)


12、白色正方体的体积占总体积的93.75%,则第一层的白色块数占该层总块数的93.75%(因为每层都是4块黑色,每层的白色总块数也不变,乘以层数后,白色块数占总块数的百分率就不变。)


则黑色占1-93.75%=6.25%,每一层都是4块黑色,则每一层的4块黑色都占该层总数的6.25%,所以每一层都有4÷6.25%=64块,64=8×8,则该正方体的棱上有8块,也就是正方体有8层,每层有4块黑色,共有4×8=32块黑色小正方体



13、本题暂不留答案,哪位做出来请在文后留言,随后文后给出分析。



文中所用的积木,可点文后左下边蓝字:阅读原文


正方体展开图,一网打尽!


能不能买,不是钱的问题

图形面积今何在?心理阴影解开来。

火车迷失于小镇,派摩托车去搜寻,什么鬼?

透过现象,你看到的不一定是本质?

发表评论

登录后才能评论
联系杨振
联系杨振
侵权联系 投诉举报
分享本页
返回顶部